夫婦が離婚しても、親子関係に変わりはありません。そして、親子関係がある以上は養育費を支払う義務があります。
したがって、養育費の支払い義務を免れるためには、親子関係がないということを確定させる必要がある、ということになります。

嫡出否認の訴えを提起できなくなった後に夫の子ではないというDNA鑑定結果が出たという場合に、夫が親子関係不存在確認の訴えを提起したケースがあります。 
最高裁は、結論としては、親子関係不存在確認の訴えを認めませんでした。
「法律上の父子関係が生物学上の父子関係と一致しない場合が生ずることになるが」、民法は「このような不一致が生ずることをも容認している」とも述べています
（夫としては、そんな風に開き直られても困ると言いたくなるでしょうが……）。
結局、夫は、DNA鑑定で自分の子ではないと判明しているにもかかわらず、法律上の親子関係を否定することができなかったのです。
https://news.biglobe.ne.jp/trend/0811/sls_170811_8823527460.html